{
  "schemaVersion": 2,
  "hash": "92affac4b84443579d58976237490c77563fe9bad5885aaae9b7c1927714b096",
  "purpose": "html-region",
  "page": "/en/prvociselne-spiraly/",
  "sourceLang": "CS",
  "targetLang": "EN-US",
  "glossaryRevision": "none",
  "glossaryId": "08f85824-1a74-45c3-94c8-6d5965be47b9",
  "deepl": {
    "tagHandling": "html",
    "tagHandlingVersion": "v2",
    "splitSentences": "nonewlines",
    "preserveFormatting": true,
    "minRequestIntervalMs": 1200,
    "retryAttempts": 8,
    "retryBaseDelayMs": 2000,
    "retryMaxDelayMs": 60000
  },
  "selectorPolicyRevision": 2,
  "manual": false,
  "locked": false,
  "edited": false,
  "editedAt": null,
  "editedBy": null,
  "sourceFragment": " <div class=\"post-header\">  <h1 class=\"post-title\">Prvočíselné spirály</h1> <p class=\"post-meta\"> October 2019 </p> </div> <div class=\"post-body\"> <p>V tomto projektu jsem se pokusil nalézt vzorce pro <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Aritmetick%C3%A1_posloupnost\">aritmetické posloupnosti</a> s vysokou četností <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo\">prvočísel</a>. Tyto vzorce jsem nalezl vytvořením číselných spirál podobných <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Ulamova_spir%C3%A1la\">Ulamovo spirále</a> vytvořených ze tří základních geometrických tvarů - z hexagonů,  čtverců a trojúhleníků. Zvolil jsem právě tyto tvary, protože <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Teselace\">pravidelné teselace povrchu</a> lze dosáhnou jen těmito třemi tvary. Jinými slovy: pouze tyto tvary lze vyskládat vedle sebe tak, aby nevznikly žádné mezery.</p>\n<p><strong>HEXAGONOVÁ SPIRÁLA</strong><br>\nNejprve jsem vytvořil jeden hexagon a do něj napsal číslo 1. Po celém vnějším obvodu tohoto hexagonu jsem narýsoval další hexagony a do nich napsal kladná přirozená čísla ve směru hodinových ručiček tak, aby číslo 1 bylo vždy zarovnané nad sebou v jednom sloupci. Tento proces jsem opakoval, dokud obrazec nebyl dostatečně veliký.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-1.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-1.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby hexagonové spirály\"> </a>  </figure>\n<p>Poté jsem označil zelenou barvou všechny hexagony, uvnitř nichž se nacházelo prvočíslo.</p>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-2.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-2.jpg\" alt=\"hexagonová spirála\"> </a>  </figure>\n<p>V tomto obrazci najednou vznikl pozoruhodný vzor. Povšiml jsem si, že ve dvou sloupcích vlevo nahoře jsou číselné řady s aritmetickou posloupností, jejíž diference je 6 (zvýrazněny červeně), které obsahují vysokou četnost prvočísel. Vzorec pro vypočítání n-tého členu v levém sloupci je <strong>a(n)=6*n+1</strong> a v pravém sloupci <strong>a(n)=6*n+5</strong>. Hledal jsem tyto dvě číselné posloupnosti na OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) a zjistil, že obě jsou již v databázi pod kódy <a href=\"https://oeis.org/A016921\">A016921</a> a <a href=\"https://oeis.org/A016969\">A016969</a>. Také jsem na internetu objevil zajímavé tvrzení: množina posloupnosti a(n)=6<em>n+1 a a(n)=6</em>n+5 dohromady obsahuje všechna prvočísla vyšší než 3. Kromě těchto dvou zajímavých sloupců obsahujících mnoho prvočísel jsem objevil také posloupnost lichých čísel, která neobsahuje žádná prvočísla (zvýrazněná modře).  Vzorec pro vypočítání n-tého členu v modrém sloupci je <strong>a(n)=6*n+3</strong>. Tuto posloupnost jsem později také nalezl v databázi OEIS pod kódem <a href=\"https://oeis.org/A016945\">A016945</a>.</p>\n<p><strong>ČTVERCOVÁ SPIRÁLA</strong><br>\nStejným způsobem jsem zkonstruoval čtvercovou spirálu, ve které se tyto tři posloupnosti také objevili.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-3.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-3.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby čtvercové spirály\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-4.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-4.jpg\" alt=\"čtvercová spirála\"> </a>  </figure>\n<p><strong>TROJÚHELNÍKOVÁ SPIRÁLA</strong><br>\nV této spirále se opět ukázali posloupnosti <strong>a(n)=6*n+1</strong> a <strong>a(n)=6*n+5</strong>, ovšem sloučené dohromady. Toto sloučení nastalo tím, že při každém sudém kroku konstrukce spirály se trojúhelníkem rotuje o 180° (některé trojúhelníky jsou špičkou nahoru, jiné zase špičkou dolu).</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-5.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-5.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby trojúhelníkové spirály\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-6.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-6.jpg\" alt=\"trojúhelníková spirála\"> </a>  </figure> </div> ",
  "translatedFragment": " <div class=\"post-header\">  <h1 class=\"post-title\">Prime Number Spirals</h1> <p class=\"post-meta\"> October 2019 </p> </div> <div class=\"post-body\"> <p>In this project, I attempted to find patterns for <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Aritmetick%C3%A1_posloupnost\">arithmetic sequences</a> with a high frequency <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo\">of prime numbers</a>. I found these patterns by creating numerical spirals similar to <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Ulamova_spir%C3%A1la\">the Ulam spiral,</a> formed from three basic geometric shapes—hexagons, squares, and triangles. I chose these shapes because <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Teselace\">a regular tessellation of a surface</a> can be achieved using only these three shapes. In other words: only these shapes can be arranged side by side without leaving any gaps.</p>\n<p><strong>HEXAGON SPIRAL</strong><br>\nFirst, I drew a single hexagon and wrote the number 1 inside it. Along the entire outer perimeter of this hexagon, I drew additional hexagons and wrote positive natural numbers inside them in a clockwise direction so that the number 1 was always aligned vertically in a single column. I repeated this process until the figure was large enough.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-1.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-1.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby hexagonové spirály\"> </a>  </figure>\n<p>Then I highlighted in green all the hexagons that contained a prime number.</p>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-2.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-2.jpg\" alt=\"hexagonová spirála\"> </a>  </figure>\n<p>A remarkable pattern suddenly emerged in this figure. I noticed that in the two columns at the top left, there are numerical sequences with an arithmetic progression whose common difference is 6 (highlighted in red), which contain a high frequency of prime numbers. The formula for calculating the nth term in the left column is <strong>a(n) = 6*n + 1,</strong> and in the right column<strong>, a(n) = 6*n + 5</strong>. I searched for these two sequences on the OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) and found that both are already in the database under codes <a href=\"https://oeis.org/A016921\">A016921</a> and <a href=\"https://oeis.org/A016969\">A016969</a>. I also found an interesting claim online: the set of the sequences a(n) = 6<em>n + 1 and a(n) = 6</em>n + 5 together contains all prime numbers greater than 3. In addition to these two interesting columns containing many prime numbers, I also discovered a sequence of odd numbers that contains no prime numbers (highlighted in blue).  The formula for calculating the nth term in the blue column is <strong>a(n) = 6n + 3</strong>. I later found this sequence in the OEIS database under code <a href=\"https://oeis.org/A016945\">A016945</a>.</p>\n<p><strong>SQUARE SPIRAL</strong><br>\nIn the same way, I constructed a square spiral in which these three sequences also appeared.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-3.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-3.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby čtvercové spirály\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-4.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-4.jpg\" alt=\"čtvercová spirála\"> </a>  </figure>\n<p><strong>TRIANGULAR SPIRAL</strong><br>\nIn this spiral, the sequences <strong>a(n) = 6*n + 1</strong> and <strong>a(n) = 6*n + 5</strong> appeared again, but combined into one. This combination occurred because, at every even step in the construction of the spiral, the triangle is rotated by 180° (some triangles point upward, while others point downward).</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-5.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-5.jpg\" alt=\"ukázka postupu tvorby trojúhelníkové spirály\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--full figure--center \"> <a href=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-6.jpg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/prvociselne-spiraly-obr-6.jpg\" alt=\"trojúhelníková spirála\"> </a>  </figure> </div> ",
  "createdAt": "2026-07-15T04:24:35.870Z"
}
